Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} n^{\frac{1}{n}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $n^{\frac{1}{n}}$ в виде $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ , вынося $\frac{1}{n}$ из логарифма.

$lim_{n \to 8} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{n} \ln (n)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} \frac{1}{n} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$e^{\frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} n} \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{1}{lim_{n \to 8} n} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}$

Этап 3.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (8)}$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{8}$ и $\ln (8)$ .

$e^{\frac{\ln (8)}{8}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{\frac{\ln (8)}{8}}$

Десятичная форма:

$1.29683955 \dots$