Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 6 x + 8}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x + lim_{x \to 2} 8}{x^{2} - 4}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 6 x + lim_{x \to 2} 8}{x^{2} - 4}$

Этап 3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 8}{x^{2} - 4}$

Этап 4

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x + 8}{x^{2} - 4}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} - 6 lim_{x \to 2} x + 8}{x^{2} - 4}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} - 6 \cdot 2 + 8}{x^{2} - 4}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 - 6 \cdot 2 + 8}{x^{2} - 4}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{4 - 12 + 8}{x^{2} - 4}$

Этап 6.1.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$\frac{- 8 + 8}{x^{2} - 4}$

Этап 6.1.4

Добавим $- 8$ и $8$ .

$\frac{0}{x^{2} - 4}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 6.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $(x + 2) (x - 2)$ .

$0$