Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 6.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 6.1.4

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{x^{3} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 5 x^{2} - 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{0}{x \cdot x^{2} + 5 x^{2} - 14 x}$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{0}{x \cdot x^{2} + x (5 x) - 14 x}$

Этап 6.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 14 x$ .

$\frac{0}{x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot - 14}$

Этап 6.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ .

$\frac{0}{x (x^{2} + 5 x) + x \cdot - 14}$

Этап 6.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot - 14$ .

$\frac{0}{x (x^{2} + 5 x - 14)}$

Этап 6.2.2

Разложим $x^{2} + 5 x - 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 14$ , а сумма — $5$ .

$- 2, 7$

Этап 6.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{0}{x ((x - 2) (x + 7))}$

$\frac{0}{x (x - 2) (x + 7)}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $x (x - 2) (x + 7)$ .

$0$