Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} | x - 3 | - 1}{x^{3} - 8}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} | x - 3 | - lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Этап 1.2

Внесем знак предела под знаки абсолютного значения.

$\frac{| lim_{x \to 2} x - 3 | - lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{| lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3 | - lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Этап 1.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{| lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3 | - lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Этап 1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{| lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3 | - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{| 2 - 1 \cdot 3 | - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{| 2 - 3 | - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Этап 3.1.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{| - 1 | - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{3} - 8}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{3} - 8}$

Этап 3.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{x^{3} - 8}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{0}{x^{3} - 2^{3}}$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Этап 3.2.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$0$