Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{2} - x - 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{2} - 1 - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 \cdot 1 - 1 - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 6.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 - 1 - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 - 1 - 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 6.1.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1 - 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 6.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{x^{2} + 3 x - 4}$

Этап 6.2

Разложим $x^{2} + 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 6.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{0}{(x - 1) (x + 4)}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $(x - 1) (x + 4)$ .

$0$