Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 7

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 9.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 5 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{1 - 5 + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.1.5

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.1.6

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\frac{1 - 5 + 9 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.1.7

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{- 4 + 9 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.1.8

Добавим $- 4$ и $9$ .

$\frac{5 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.1.9

Вычтем $7$ из $5$ .

$\frac{- 2 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.1.10

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

Этап 10.2

Разделим $0$ на $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1$ .

$0$