Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x^{2} - 7 x - 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 7 x - lim_{x \to 3} 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 7 x - lim_{x \to 3} 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 7 x - lim_{x \to 3} 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 4

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 5

Найдем предел $15$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 3^{2} - 7 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{4 \cdot 9 - 7 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 7.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{36 - 7 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 7$ на $3$ .

$\frac{36 - 21 - 1 \cdot 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 7.1.4

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\frac{36 - 21 - 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 7.1.5

Вычтем $21$ из $36$ .

$\frac{15 - 15}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 7.1.6

Вычтем $15$ из $15$ .

$\frac{0}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 7.2

Разложим $x^{2} + 4 x - 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 21$ , а сумма — $4$ .

$- 3, 7$

Этап 7.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{0}{(x - 3) (x + 7)}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $(x - 3) (x + 7)$ .

$0$