Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x - 3}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 3}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 1.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 3}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{12 - 3}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 3.1.3

Вычтем $3$ из $12$ .

$\frac{9}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{9}{\sqrt{x + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

Этап 3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{9}{\sqrt{x + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Этап 3.3.2

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Этап 3.3.3

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Этап 3.3.6

Перепишем ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Этап 3.3.6.5

Упростим.

$\frac{9 \sqrt{x + 1}}{x + 1}$