Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} - 20}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 5 x + 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 20}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 5 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 20}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 5 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 20}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 20}$

Этап 5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 20}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 20}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 4} x + 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 20}$

Этап 8

Найдем предел $20$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 4} x + 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4^{2} - 5 lim_{x \to 4} x + 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4^{2} - 5 \cdot 4 + 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4^{2} - 5 \cdot 4 + 4}{4^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16 - 5 \cdot 4 + 4}{4^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 5$ на $4$ .

$\frac{16 - 20 + 4}{4^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 10.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$\frac{- 4 + 4}{4^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 10.1.4

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 20}$

Этап 10.2.2

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\frac{0}{16 - 20}$

Этап 10.2.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$\frac{0}{- 4}$

Этап 10.3

Разделим $0$ на $- 4$ .

$0$