Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x + 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 1.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 1.3

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 8 + 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{40 + 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 3.1.2

Добавим $40$ и $6$ .

$\frac{46}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{46}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{6 x^{2} + 1}}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$ .

$\frac{46}{\sqrt{6 x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{6 x^{2} + 1}}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{46}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{6 x^{2} + 1}}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$ .

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{\sqrt{6 x^{2} + 1} \sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 3.3.2

Возведем $\sqrt{6 x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{6 x^{2} + 1}}$

Этап 3.3.3

Возведем $\sqrt{6 x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{1}}$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 3.3.6

Перепишем ${\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{2}$ в виде $6 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x^{2} + 1}$ в виде ${(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{({(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{(6 x^{2} + 1)}^{1}}$

Этап 3.3.6.5

Упростим.

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{6 x^{2} + 1}$