Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{x + 3}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{5 + \frac{- 2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.7

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 2.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}$

Этап 4.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{1 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{- \sqrt{5 + 0}}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 6.1.2

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 0}$

Этап 6.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1}$

Этап 6.3

Разделим $- \sqrt{5}$ на $1$ .

$- \sqrt{5}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$- 2.23606797 \dots$