Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 3 x - 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 4

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25 - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{25 - 15 - 1 \cdot 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{25 - 15 - 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 6.1.4

Вычтем $15$ из $25$ .

$\frac{10 - 10}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 6.1.5

Вычтем $10$ из $10$ .

$\frac{0}{x^{2} - 10 x + 25}$

Этап 6.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

Этап 6.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 6.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{0}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Этап 6.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{0}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на ${(x - 5)}^{2}$ .

$0$