Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} x^{2} - 3 x - 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 4

Найдем предел $28$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{64 - 24 - 1 \cdot 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $28$ .

$\frac{64 - 24 - 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 6.1.4

Вычтем $24$ из $64$ .

$\frac{40 - 28}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 6.1.5

Вычтем $28$ из $40$ .

$\frac{12}{2 x^{3} - 98 x}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} - 98 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{12}{2 x (x^{2}) - 98 x}$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 98 x$ .

$\frac{12}{2 x (x^{2}) + 2 x (- 49)}$

Этап 6.2.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (- 49)$ .

$\frac{12}{2 x (x^{2} - 49)}$

Этап 6.2.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{12}{2 x (x^{2} - 7^{2})}$

Этап 6.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\frac{12}{2 x (x + 7) (x - 7)}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 x (x + 7) (x - 7)}$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (x + 7) (x - 7)$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 ((x (x + 7)) (x - 7))}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 6}{2 ((x (x + 7)) (x - 7))}$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{(x (x + 7)) (x - 7)}$

$\frac{6}{x (x + 7) (x - 7)}$