Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[5]{x} - \sqrt[9]{x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[5]{x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[5]{- 8} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[5]{- 8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 1)}^{5} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$\frac{\sqrt[5]{- 1 (8)} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{5}$ .

$\frac{\sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \cdot 8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{- 1 \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.3

Перепишем $- 1 \sqrt[5]{8}$ в виде $- \sqrt[5]{8}$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.4

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 1)}^{9} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{- 1 (8)}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{9}$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{{(- 1)}^{9} \cdot 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[9]{8})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.6

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[9]{2^{3}})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.7

Перепишем $\sqrt[9]{2^{3}}$ в виде $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}}$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[3]{2})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.9

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{2}$ в виде $- \sqrt[3]{2}$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} - - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.10

Умножим $- - \sqrt[3]{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + 1 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.1.10.2

Умножим $\sqrt[3]{2}$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{5}} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 5.2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[9]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{9}}$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{9}}}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{9}}$ из $x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{9}}$ из $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{4}{45}} + x^{\frac{1}{9}}}$

Этап 5.2.3.2

Умножим на $1$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{4}{45}} + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{9}}$ из $x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{4}{45}} + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1$ .

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt[5]{8}$ .

$\frac{- (\sqrt[5]{8}) + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt[3]{2}$ .

$\frac{- (\sqrt[5]{8}) - 1 (- \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sqrt[5]{8}) - 1 (- \sqrt[3]{2})$ .

$\frac{- (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Этап 5.6

Перепишем $- (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})$ в виде $- 1 (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

Этап 5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$