Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + 10^{6} x^{4} + 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 2

Вынесем член $10^{8}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{10^{8} lim_{x \to 8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 3

Вынесем степень $5$ в выражении $x^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 4

Вынесем член $10^{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 5

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 6

Вынесем член $10^{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} lim_{x \to 8} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $10$ в степень $8$ .

$\frac{100000000 \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.2

Возведем $8$ в степень $5$ .

$\frac{100000000 \cdot 32768 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.3

Умножим $100000000$ на $32768$ .

$\frac{3276800000000 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.4

Возведем $10$ в степень $6$ .

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.5

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 4096 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.6

Умножим $1000000$ на $4096$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.7

Возведем $10$ в степень $4$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.8

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 64}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.9

Умножим $10000$ на $64$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.10

Добавим $3276800000000$ и $4096000000$ .

$\frac{3280896000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.1.11

Добавим $3280896000000$ и $640000$ .

$\frac{3280896640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $10^{5} x^{3}$ из $10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Вынесем множитель $10^{5} x^{3}$ из $10^{9} x^{6}$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.2.1.2

Вынесем множитель $10^{5} x^{3}$ из $10^{7} x^{5}$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3}}$

Этап 9.2.1.3

Вынесем множитель $10^{5} x^{3}$ из $10^{5} x^{3}$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

Этап 9.2.1.4

Вынесем множитель $10^{5} x^{3}$ из $10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2})$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

Этап 9.2.1.5

Вынесем множитель $10^{5} x^{3}$ из $10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

Этап 9.2.2

Возведем $10$ в степень $4$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

Этап 9.2.3

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1)}$

Этап 9.2.4

Разложим $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 10000, \pm 2, \pm 5000, \pm 4, \pm 2500, \pm 5, \pm 2000, \pm 8, \pm 1250, \pm 10, \pm 1000, \pm 16, \pm 625, \pm 20, \pm 500, \pm 25, \pm 400, \pm 40, \pm 250, \pm 50, \pm 200, \pm 80, \pm 125, \pm 100$

Этап 9.2.4.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.0001, \pm 0.5, \pm 0.0002, \pm 0.25, \pm 0.0004, \pm 0.2, \pm 0.0005, \pm 0.125, \pm 0.0008, \pm 0.1, \pm 0.001, \pm 0.0625, \pm 0.0016, \pm 0.05, \pm 0.002, \pm 0.04, \pm 0.0025, \pm 0.025, \pm 0.004, \pm 0.02, \pm 0.005, \pm 0.0125, \pm 0.008, \pm 0.01$

Этап 9.2.4.3

Подставим $- 0.05$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.05$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.3.1

Подставим $- 0.05$ в многочлен.

$10000 {(- 0.05)}^{3} + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

Этап 9.2.4.3.2

Возведем $- 0.05$ в степень $3$ .

$10000 \cdot - 0.000125 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

Этап 9.2.4.3.3

Умножим $10000$ на $- 0.000125$ .

$- 1.25 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

Этап 9.2.4.3.4

Возведем $- 0.05$ в степень $2$ .

$- 1.25 + 100 \cdot 0.0025 + 1$

Этап 9.2.4.3.5

Умножим $100$ на $0.0025$ .

$- 1.25 + 0.25 + 1$

Этап 9.2.4.3.6

Добавим $- 1.25$ и $0.25$ .

$- 1 + 1$

Этап 9.2.4.3.7

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 9.2.4.4

Поскольку $- 0.05$ — известный корень, разделим многочлен на $20 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1}{20 x + 1}$

Этап 9.2.4.5

Разделим $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ на $20 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$20 x$

$1$

$10000 x^{3}$

$100 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 9.2.4.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10000 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $20 x$ .

					$500 x^{2}$
	$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 9.2.4.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$10000 x^{3}$	+	$500 x^{2}$

Этап 9.2.4.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10000 x^{3} + 500 x^{2}$ .

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$

Этап 9.2.4.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$

Этап 9.2.4.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 9.2.4.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 400 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $20 x$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 9.2.4.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$400 x^{2}$	-	$20 x$

Этап 9.2.4.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 400 x^{2} - 20 x$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$

Этап 9.2.4.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$

Этап 9.2.4.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

Этап 9.2.4.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $20 x$ на член с максимальной степенью в делителе $20 x$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

Этап 9.2.4.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							+	$20 x$	+	$1$

Этап 9.2.4.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $20 x + 1$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$

Этап 9.2.4.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$
										$0$

Этап 9.2.4.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$500 x^{2} - 20 x + 1$

Этап 9.2.4.6

Запишем $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ в виде набора множителей.

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} ((20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

Этап 9.2.5

Возведем $10$ в степень $5$ .

$\frac{3280896640000}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $3280896640000$ и $100000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $20000$ из $3280896640000$ .

$\frac{20000 (164044832)}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

Этап 9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $20000$ из $100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)$ .

$\frac{20000 (164044832)}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20000 \cdot 164044832}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{164044832}{5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$