Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 1.4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 7}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 3.1.2

Добавим $64$ и $7$ .

$\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{71}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{\sqrt{7 x^{2} + 1} \sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 3.3.2

Возведем $\sqrt{7 x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{7 x^{2} + 1}}$

Этап 3.3.3

Возведем $\sqrt{7 x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1}}$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 3.3.6

Перепишем ${\sqrt{7 x^{2} + 1}}^{2}$ в виде $7 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 x^{2} + 1}$ в виде ${(7 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{({(7 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{{(7 x^{2} + 1)}^{1}}$

Этап 3.3.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{71} \sqrt{7 x^{2} + 1}}{7 x^{2} + 1}$

Этап 3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{71 (7 x^{2} + 1)}}{7 x^{2} + 1}$