Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{z \to 8} (- 8 z^{3} - 5 z) + 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $z$ к $8$ .

$\frac{- lim_{z \to 8} 8 z^{3} - lim_{z \to 8} 5 z + lim_{z \to 8} 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 2

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $z$ .

$\frac{- 8 lim_{z \to 8} z^{3} - lim_{z \to 8} 5 z + lim_{z \to 8} 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $z^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 8 {(lim_{z \to 8} z)}^{3} - lim_{z \to 8} 5 z + lim_{z \to 8} 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $z$ .

$\frac{- 8 {(lim_{z \to 8} z)}^{3} - 5 lim_{z \to 8} z + lim_{z \to 8} 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $z$ к $8$ .

$\frac{- 8 {(lim_{z \to 8} z)}^{3} - 5 lim_{z \to 8} z + 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $z$ , подставив значение $8$ для $z$ .

$\frac{- 8 \cdot 8^{3} - 5 lim_{z \to 8} z + 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 6.2

Найдем предел $z$ , подставив значение $8$ для $z$ .

$\frac{- 8 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{- 8 \cdot 512 - 5 \cdot 8 + 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 8$ на $512$ .

$\frac{- 4096 - 5 \cdot 8 + 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 5$ на $8$ .

$\frac{- 4096 - 40 + 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 7.1.4

Вычтем $40$ из $- 4096$ .

$\frac{- 4136 + 2}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 7.1.5

Добавим $- 4136$ и $2$ .

$\frac{- 4134}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4134}{z^{3} + 2 z^{2} - 5 z + 3}$