Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.5.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 1 \cdot e^{- x})}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4.9

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $e^{- x}$ и $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x}}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- 2 x}}{1}$

Этап 1.4.2.4

Разделим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} e^{- 2 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} - 2 x}$

Этап 2.2

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$