Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{3 \sqrt{512} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 7.1.2

Перепишем $512$ в виде $16^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $256$ из $512$ .

$\frac{3 \sqrt{256 (2)} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 7.1.2.2

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{16^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 7.1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 (16 \sqrt{2}) + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 7.1.4

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 7.1.5

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $2 x^{3}$ в виде $x^{2} \cdot (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 (x^{2} x)}}$

Этап 7.2.1.2

Изменим порядок $2$ и $x^{2}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}}$

Этап 7.2.1.3

Добавим круглые скобки.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}}$

Этап 7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ на $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$

Этап 7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ на $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}}$

Этап 7.4.2

Перенесем $\sqrt{2 x}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (\sqrt{2 x} \sqrt{2 x})}$

Этап 7.4.3

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x})}$

Этап 7.4.4

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1})}$

Этап 7.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}}$

Этап 7.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{2}}$

Этап 7.4.7

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{2}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{1}}$

Этап 7.4.7.5

Упростим.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (2 x)}$

Этап 7.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \cdot x \cdot 2}$

Этап 7.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x^{2} \cdot 2}$

Этап 7.6

Сократим общий множитель $48 \sqrt{2} + 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $2$ из $(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{x^{2} \cdot 2}$

Этап 7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Этап 7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Этап 7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Этап 7.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 \sqrt{2} \sqrt{2 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Этап 7.8

Умножим $24 \sqrt{2} \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{24 \sqrt{2 x \cdot 2} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Этап 7.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{24 \sqrt{4 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Этап 7.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{24 \sqrt{2^{2} x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Этап 7.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{24 (2 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Этап 7.9.3

Умножим $2$ на $24$ .

$\frac{48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Этап 7.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Вынесем множитель $12$ из $48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1.1

Вынесем множитель $12$ из $48 \sqrt{x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Этап 7.10.1.2

Вынесем множитель $12$ из $12 \sqrt{2 x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Этап 7.10.1.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Этап 7.10.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Этап 7.10.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 7.10.4

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 7.10.5

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.5.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 7.10.5.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 7.10.5.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}}))}{x^{2}}$

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Этап 7.11

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 7.12

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 - \frac{1}{2}}}$

Этап 7.12.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Этап 7.12.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Этап 7.12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Этап 7.12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}$

Этап 7.12.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$