Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 3 x - 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7.1.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{128 - 24 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{128 - 24 - 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7.1.5

Вычтем $24$ из $128$ .

$\frac{104 - 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7.1.6

Вычтем $6$ из $104$ .

$\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ .

$\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7.3.2

Возведем $\sqrt{x^{4} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

Этап 7.3.3

Возведем $\sqrt{x^{4} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 1}}^{1}}$

Этап 7.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}}$

Этап 7.3.6

Перепишем ${\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}$ в виде $x^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{4} + 1}$ в виде ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{1}}$

Этап 7.3.6.5

Упростим.

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{x^{4} + 1}$