Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}} - 1}{x}$

Этап 1

Перепишем ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ в виде ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = 1 + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.3

По правилу суммы производная $1 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.10.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.12

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.13

Добавим $0$ и $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.14

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.15

Объединим $\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.16

Перенесем $2$ влево от ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.17

Перенесем ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Добавим $\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Этап 2.5

Умножим $\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $\frac{2}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.4

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении ${(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{2}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Этап 5.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$