Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (\cos (x) + \sin (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.6.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.6.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.6.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $\cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(- \sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ и $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.4

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) - 1 \cdot - 1 \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.9

Перепишем $- (\sin (x) - \cos (x))$ в виде $- 1 (\sin (x) - \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Этап 4.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Этап 4.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Этап 4.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Этап 4.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- \frac{0 - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Этап 6.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Этап 6.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + \sin (0)}}$

Этап 6.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + 0}}$

Этап 6.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1}}$

Этап 6.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$e^{- - 1}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{1}$

Этап 6.5

Упростим.

$e$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e$

Десятичная форма:

$2.71828182 \dots$