Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 5}{x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 4}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 4}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 4}$

Этап 9

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 5}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 5}{1^{2} - 3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 5}{1^{2} - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{1^{2} - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 5}{1^{2} - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{3 - 5}{1^{2} - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 11.1.4

Вычтем $5$ из $3$ .

$\frac{- 2}{1^{2} - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 2}{1 - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{- 2}{1 - 3 - 1 \cdot 4}$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 2}{1 - 3 - 4}$

Этап 11.2.4

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{- 2}{- 2 - 4}$

Этап 11.2.5

Вычтем $4$ из $- 2$ .

$\frac{- 2}{- 6}$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$\frac{- 2 (1)}{- 6}$

Этап 11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6$ .

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 3}$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 3}$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{3}$