Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{1 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{1 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 8

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{1 + 2 \cdot 0 + 0}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 2 \cdot 0 + 0}$

Этап 9.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 0 + 0}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Этап 9.2.2

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Этап 9.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 9.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$