Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}}$ в виде $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})$ , вынося $\frac{1}{3 x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{3 x} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \ln (1 + 2 x)}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{3 x}$ и $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{3 x}}$

Этап 2.3

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.9

Умножим $\frac{2}{1 + 2 x}$ на $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.10

Изменим порядок членов.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{2 x + 1} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{2}{2 x + 1}$ на $1$ .

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{2 x + 1}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 1}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}}$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}$

Этап 4.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 1}}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}}$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{2}{3} \cdot 1}$

Этап 6.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$e^{\frac{2}{3}}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{\frac{2}{3}}$

Десятичная форма:

$1.94773404 \dots$