Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{2}}{5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.2.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 6 x^{3}}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6 x^{3}}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 6 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 6 \cdot 0^{3}}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 6 \cdot 0^{3}}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 6 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{2}}{5 x + 6 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $3 x + 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 4 x}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3.5

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $5 x + 6 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 6 (3 x^{2})}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $3$ на $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 18 x^{2}}$

Этап 1.3.9

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{18 x^{2} + 5}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

Этап 2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

Этап 2.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

Этап 2.6

Вынесем член $18$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

Этап 2.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

Этап 2.8

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 + 3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

Этап 4.1.2

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{18 \cdot 0 + 5}$

Этап 4.2.2

Умножим $18$ на $0$ .

$\frac{3}{0 + 5}$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{3}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{5}$

Десятичная форма:

$0.6$