Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (3 x)}$

Этап 1

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (3 x)}$ в $\csc^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (3 x)$

Этап 2

Перепишем $x^{2} \csc^{2} (3 x)$ в виде $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 3

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 4

Вычислим левосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 4.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 4.1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 4.1.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 4.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Этап 4.1.1.3.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ стремится к $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.1.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Этап 4.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = \csc (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Этап 4.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Этап 4.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Этап 4.1.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 4.1.3.4.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 4.1.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 4.1.3.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 4.1.3.6

Возведем $\csc (3 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 4.1.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 4.1.3.8

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 4.1.3.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 4.1.3.10

Умножим $3$ на $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Этап 4.1.3.12

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Этап 4.1.3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.13.1

Выразим $\csc (3 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Этап 4.1.3.13.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Этап 4.1.3.13.3

Выразим $\cot (3 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Этап 4.1.3.13.4

Сократим общий множитель $\sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.13.4.1

Вынесем множитель $\sin (3 x)$ из $6 \sin^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Этап 4.1.3.13.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Этап 4.1.3.13.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 4.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Этап 4.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Этап 4.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 4.1.5

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Этап 4.1.6

Переведем $\frac{1}{\sin (3 x)}$ в $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Этап 4.1.7

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Этап 4.1.8

Переведем $\frac{1}{\cos (3 x)}$ в $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Этап 4.1.9

Объединим $\frac{x}{3}$ и $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Этап 4.1.10

Объединим $\frac{x \sec (3 x)}{3}$ и $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Этап 4.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Этап 4.3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.35420643 \\ - 0.01 & 0.33353341 \\ - 0.001 & 0.33333533 \\ - 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Этап 4.4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.333$ . Таким образом, предел $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0.333$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Этап 4.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Этап 4.5.2

Разделим $0.333$ на $3$ .

$0.111$

Этап 5

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 6

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 6.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 6.1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 6.1.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Этап 6.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Этап 6.1.1.3.2

$\frac{0}{0}$

Этап 6.1.1.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 6.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Этап 6.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Этап 6.1.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Этап 6.1.3.3.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Этап 6.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Этап 6.1.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 6.1.3.4.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 6.1.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 6.1.3.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 6.1.3.6

Возведем $\csc (3 x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 6.1.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 6.1.3.8

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 6.1.3.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 6.1.3.10

Умножим $3$ на $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Этап 6.1.3.12

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Этап 6.1.3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.13.1

Выразим $\csc (3 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Этап 6.1.3.13.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Этап 6.1.3.13.3

Выразим $\cot (3 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Этап 6.1.3.13.4

Сократим общий множитель $\sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.13.4.1

Вынесем множитель $\sin (3 x)$ из $6 \sin^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Этап 6.1.3.13.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Этап 6.1.3.13.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 6.1.5

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Этап 6.1.6

Переведем $\frac{1}{\sin (3 x)}$ в $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Этап 6.1.7

Разделим дроби.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Этап 6.1.8

Переведем $\frac{1}{\cos (3 x)}$ в $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Этап 6.1.9

Объединим $\frac{x}{3}$ и $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Этап 6.1.10

Объединим $\frac{x \sec (3 x)}{3}$ и $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Этап 6.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Этап 6.3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.35420643 \\ 0.01 & 0.33353341 \\ 0.001 & 0.33333533 \\ 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Этап 6.4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.333$ . Таким образом, предел $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0.333$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Этап 6.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Этап 6.5.2

Разделим $0.333$ на $3$ .

$0.111$

Этап 7

Так как левосторонний предел совпадает с правосторонним, предел равен $0.111$ .

$0.111$