Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

Этап 1

Найдем предел $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.4

Перепишем $t^{\frac{3}{2}}$ в виде ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.5

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.6.2

Перепишем $- 1 t^{\frac{1}{2}}$ в виде $- t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.6.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.6.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.6.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.1.6.4

Упростим.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{3 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{3 t - t^{2}}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $t$ из $3 t - t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $t$ из $3 t$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 - t^{2}}$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $t$ из $- t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 + t (- t)}$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot 3 + t (- t)$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t)}$

Этап 2.3

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 2.4

Умножим $t$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (3 - t)}$

Этап 2.4.2

Умножим $t^{- \frac{1}{2}}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (3 - t)}$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (3 - t)}$

Этап 2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (3 - t)}$

Этап 2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (3 - t)}$

Этап 2.4.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (3 - t)}$