Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Этап 1

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Этап 2

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

Этап 2.2

Так как выражение $\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 3

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.1.2

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.1.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.2.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.4

Перепишем $x \ln (x)$ в виде $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x)$ неограниченно убывает.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.1.3

Так как числитель — константа, а знаменатель стремится к $0$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 4.5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.3.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.3.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.5

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.6.2.3

Сократим общий множитель.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.6.2.4

Перепишем это выражение.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.5.6.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Этап 4.7

Так как числитель положителен, а знаменатель $x$ стремится к нулю и больше нуля для $x$ около $0$ справа, функция неограниченно растет.

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

Этап 4.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Этап 4.8.1.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.1

Сократим общий множитель.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Этап 4.8.1.2.2

Перепишем это выражение.

$9 \cdot 1 - \infty$

Этап 4.8.1.3

Умножим $9$ на $1$ .

$9 - \infty$

Этап 4.8.1.4

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$9 + - \infty$

Этап 4.8.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$- \infty$

Этап 5

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$