Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{8^{x} - 5^{x}}{x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 8^{x} - 5^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8^{x} - lim_{x \to 0} 5^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{8^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{8^{lim_{x \to 0} x} - 5^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{8^{0} - 5^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{8^{0} - 5^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 5^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{8^{x} - 5^{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8^{x} - 5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8^{x} - 5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $8^{x} - 5^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8^{x} \ln (8) + \frac{d}{d x} [- 5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 5^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8^{x} \ln (8) - \frac{d}{d x} [5^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8^{x} \ln (8) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8^{x} \ln (8) - 5^{x} \ln (5)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $8^{x} \ln (8) - 5^{x} \ln (5)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 8^{x} \ln (8) - 5^{x} \ln (5)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} 8^{x} \ln (8) - lim_{x \to 0} 5^{x} \ln (5)$

Этап 2.2

Вынесем член $\ln (8)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln (8) lim_{x \to 0} 8^{x} - lim_{x \to 0} 5^{x} \ln (5)$

Этап 2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5^{x} \ln (5)$

Этап 2.4

Вынесем член $\ln (5)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{x \to 0} x} - \ln (5) lim_{x \to 0} 5^{x}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак экспоненты.

$\ln (8) \cdot 8^{lim_{x \to 0} x} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\ln (8) \cdot 8^{0} - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\ln (8) \cdot 1 - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Этап 4.1.2

Умножим $\ln (8)$ на $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 5^{0}$

Этап 4.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\ln (8) - \ln (5) \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (8) - \ln (5)$

Этап 4.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8}{5})$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\frac{8}{5})$

Десятичная форма:

$0.47000362 \dots$