Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{2 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \tan (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок множителей в $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{1}$

Этап 2.4

Разделим $6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Этап 3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot 6 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Этап 3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Этап 3.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Этап 3.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 3 x)$

Этап 3.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (3)) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Этап 5.1.3

Перепишем это выражение.

$3 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $0$ .

$3 \sec^{2} (0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Этап 5.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$3 \cdot 1^{2} \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Этап 5.4

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Этап 5.5

Умножим $3$ на $1$ .

$3 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Этап 5.6

Умножим $3$ на $0$ .

$3 \cdot \tan (0)$

Этап 5.7

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$3 \cdot 0$

Этап 5.8

Умножим $3$ на $0$ .

$0$