Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x \sin (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Этап 1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.4

Изменим порядок множителей в $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.6

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Этап 1.3.8

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 \frac{1^{2} \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.6.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.6.3

Умножим $\tan (0)$ на $1$ .

$2 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.6.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 3.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 3.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Этап 3.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Этап 3.1.3.6.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$2 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Этап 3.1.3.6.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 \frac{0}{0 + 0}$

Этап 3.1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.2

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.4

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.6

Перенесем $2$ влево от $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.7

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.8

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.9

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.11

Добавим $1$ и $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.12

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.13

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.15

Добавим $1$ и $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.16

Изменим порядок членов.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.17

По правилу суммы производная $x \cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.18

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.18.1

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.18.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.18.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.18.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.19

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Этап 3.3.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.20.1

Добавим $\cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.3.20.2

Изменим порядок членов.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.5

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.7

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.9

Вынесем степень $4$ в выражении $\sec^{4} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Этап 4.12

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Этап 4.13

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Этап 4.14

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 4.15

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 \frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{2 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{2 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 \frac{2 \cdot 0^{2} + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \frac{2 \cdot 0 + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.6

Умножим $2$ на $0$ .

$2 \frac{0 + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.7

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 \frac{0 + 1^{4}}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{0 + 1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.9

Добавим $0$ и $1$ .

$2 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Этап 6.2.2

Умножим $0$ на $0$ .

$2 \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Этап 6.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2}$

Этап 6.2.5

Добавим $0$ и $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$1$