Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} | x | \cos (\frac{π}{x})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} | x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

Этап 1.2

Внесем знак предела под знаки абсолютного значения.

$| lim_{x \to 0} x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$| 0 | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{π}{x})$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cos (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 1 \\ - 0.01 & 1 \\ - 0.001 & - 0.52509112 \\ - 0.0001 & 0.98390071 \\ - 0.00001 & 0.21498467 \\ - 0.000001 & - 0.11167431 \\ - 0.0000001 & 0.25336184 \\ - 0.00000001 & - 0.90154773 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $\cos (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1$ .

$1$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cos (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $\cos (\frac{π}{x})$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$| 0 | \cdot 1$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$0 \cdot 1$

Этап 9.2

Умножим $0$ на $1$ .

$0$