Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Этап 1.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Этап 1.1.3.2.2

Найдем предел $\arctan (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 - \arctan (0)}$

Этап 1.1.3.2.3

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x - \arctan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \arctan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Этап 1.3.5.2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Этап 1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Этап 1.3.6.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2} - 1}{1 + x^{2}}}$

Этап 1.3.6.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2} + 0}{1 + x^{2}}}$

Этап 1.3.6.1.4

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Этап 1.3.6.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} 3 x^{2} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $3$ и $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.5.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Этап 1.6.2

Разделим $3 (x^{2} + 1)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 (x^{2} + 1)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Этап 2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 (0^{2} + 1)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (0 + 1)$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3$