Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 5 x}{x^{2} + 2 x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.2.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 5 x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{2 x + 2 \cdot 1}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{2 x + 2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - 5}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Этап 2.4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Этап 2.7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{2 \cdot 0 + 2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 5}{2 \cdot 0 + 2}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0 - 5}{2 \cdot 0 + 2}$

Этап 4.1.3

Вычтем $5$ из $0$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 0 + 2}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{- 5}{0 + 2}$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{- 5}{2}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$- 2.5$