Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} x \cos (x^{2} + \frac{1}{x})$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} x \cos (\frac{x^{2} x}{x} + \frac{1}{x})$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} x \cos (\frac{x^{2} x + 1}{x})$

Этап 2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} x \cos (\frac{x^{2} x^{1} + 1}{x})$

Этап 2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} x \cos (\frac{x^{2 + 1} + 1}{x})$

Этап 2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} x \cos (\frac{x^{3} + 1}{x})$

Этап 3

Так как $x \cdot - 1 \leq x \cos (\frac{x^{3} + 1}{x}) \leq x \cdot 1$ и $lim_{x \to 0} x \cdot - 1 = lim_{x \to 0} x \cdot 1 = 0$ , применим теорему о двух милиционерах.

$0$