Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} - \frac{1}{x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x \sqrt{1} + x) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x \sqrt{1} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x - (x \sqrt{1} + x)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 2.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Найдем предел $x - (x \sqrt{1} + x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 - (0 \sqrt{1} + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0 - (0 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 2.1.2.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 2.1.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + x}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем член $\sqrt{1}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}$

Этап 2.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 \cdot 0 + 0)}$

Этап 2.1.3.5.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Этап 2.1.3.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.5.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \cdot 1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.3

Добавим $x$ и $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.4

По правилу суммы производная $x - (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.6.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.6.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.7

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Этап 2.3.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 1 + x)]}$

Этап 2.3.8.2

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}$

Этап 2.3.9

Добавим $x$ и $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (2 x)]}$

Этап 2.3.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x)]}$

Этап 2.3.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x^{1})]}$

Этап 2.3.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{1 + 1}]}$

Этап 2.3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Этап 2.3.14

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 x)}$

Этап 2.3.16

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

Этап 3

Поскольку эта функция приближается к $\infty$ слева, а $- \infty$ находится справа, предел не существует.

$Не существует$