Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Этап 1.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Этап 2

Так как $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ и $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , применим теорему о двух милиционерах.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Этап 3

Вынесем член $\frac{2}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 4.1.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 4.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 5.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 5.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 7.1.2

Переведем $\frac{1}{\cos (0)}$ в $\sec (0)$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \sec (0)$

Этап 7.1.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 2}{3}$

Этап 7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3}{3}$

Этап 7.4

Разделим $3$ на $3$ .

$1$