Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} ((e^{x} - x - 1) \cos^{2} (\frac{2}{x})) + x + 1$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} (e^{x} - x - 1) \cos^{2} (\frac{2}{x}) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1$

Этап 2

Так как $(e^{x} - x - 1) \cdot 0 \leq (e^{x} - x - 1) \cos^{2} (\frac{2}{x}) \leq (e^{x} - x - 1) \cdot 1$ и $lim_{x \to 0} (e^{x} - x - 1) \cdot 0 = lim_{x \to 0} (e^{x} - x - 1) \cdot 1 = 0$ , применим теорему о двух милиционерах.

$0 + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$0 + lim_{x \to 0} x + 1$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$0 + 0 + 1$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 1$

Этап 5.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$