Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.4.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Этап 1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Этап 1.1.3.4.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $x - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 1.3.7.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 2.1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Этап 2.1.3.1.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (0)}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Изменим порядок $1$ и $- \sec^{2} (0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) + 1}$

Этап 2.1.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0)) + 1}$

Этап 2.1.3.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0) - 1)}$

Этап 2.1.3.3.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Этап 2.1.3.3.6

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Этап 2.1.3.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Этап 2.1.3.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.4.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.5

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $1 - \sec^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sec^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Этап 2.3.8.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Этап 2.3.8.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Этап 2.3.8.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Этап 2.3.8.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))}$

Этап 2.3.8.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))}$

Этап 2.3.8.5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))}$

Этап 2.3.8.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))}$

Этап 2.3.8.7

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}$

Этап 2.3.8.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Вычтем $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 2.3.9.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}$

Этап 2.3.9.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Этап 2.3.9.4

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Этап 2.3.9.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Этап 2.3.9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Этап 2.3.9.7

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.3.9.8

Умножим $- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.8.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}$

Этап 2.3.9.8.2

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.8.2.1

Умножим $\cos (x)$ на $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.8.2.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}}$

Этап 2.3.9.8.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{{\cos (x)}^{1 + 2}}}$

Этап 2.3.9.8.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{3} (x)}}$

Этап 2.3.9.9

Перенесем $2$ влево от $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \sin (x) (- \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)})$

Этап 2.5

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} - \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

Этап 3.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)$

Этап 3.3

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}$

Этап 3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Этап 5.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$