Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Этап 1

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Этап 2

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел $1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

Этап 2.2

Выразим $\cot (0)$ через синусы и косинусы.

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Этап 2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

Этап 2.4

Так как выражение $1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 3

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Этап 4

Вычислим правосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Этап 4.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Этап 4.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем ${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ в виде $e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

Этап 4.2.2

Развернем $\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ , вынося $\cot (x)$ из логарифма.

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

Этап 4.3

Поскольку показатель степени $\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ стремится к $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$