Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1} - \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Этап 4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Этап 6

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{4} + 1}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 8

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 1}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} + 1} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\sqrt[3]{512 + 1} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Этап 11.2

Добавим $512$ и $1$ .

$\sqrt[3]{513} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Этап 11.3

Перепишем $513$ в виде $3^{3} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $27$ из $513$ .

$\sqrt[3]{27 (19)} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Этап 11.3.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Этап 11.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Этап 11.5

Возведем $8$ в степень $4$ .

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4096 + 1}$

Этап 11.6

Добавим $4096$ и $1$ .

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4097}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4097}$

Десятичная форма:

$0.00471670 \dots$