Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (4 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\sin (4 \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\sin (4 \frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (4 \frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sin (2 (2) \frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (2 π) \frac{2}{π}$

Этап 5.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (0) \frac{2}{π}$

Этап 5.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 \frac{2}{π}$

Этап 5.5

Умножим $0$ на $\frac{2}{π}$ .

$0$