Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 4} x^{2} - 16}{lim_{x \to - 4} 2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} x^{2} - lim_{x \to - 4} 16}{lim_{x \to - 4} 2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} - lim_{x \to - 4} 16}{lim_{x \to - 4} 2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to - 4} 2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to - 4} 2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to - 4} 2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to - 4} 2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} 2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} 2 x^{2} + lim_{x \to - 4} 9 x + lim_{x \to - 4} 4}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 9 x + lim_{x \to - 4} 4}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 9 x + lim_{x \to - 4} 4}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 4)}^{2} + 9 lim_{x \to - 4} x + 4}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 4)}^{2} + 9 \cdot - 4 + 4}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 16 + 9 \cdot - 4 + 4}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{0}{32 + 9 \cdot - 4 + 4}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Умножим $9$ на $- 4$ .

$\frac{0}{32 - 36 + 4}$

Этап 1.1.3.7.2

Вычтем $36$ из $32$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Этап 1.1.3.7.3

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} - 16}{2 x^{2} + 9 x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x + 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x + 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x + 4]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x + 4]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x + 4]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x + 4]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 9 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{4 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{4 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{4 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $9$ на $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{4 x + 9 + \frac{d}{d x} [4]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{4 x + 9 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $4 x + 9$ и $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x}{4 x + 9}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - 4} \frac{x}{4 x + 9}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 4} x}{lim_{x \to - 4} 4 x + 9}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 4} x}{lim_{x \to - 4} 4 x + lim_{x \to - 4} 9}$

Этап 2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 4} x}{4 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 9}$

Этап 2.5

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 4} x}{4 lim_{x \to - 4} x + 9}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$2 \frac{- 4}{4 lim_{x \to - 4} x + 9}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$2 \frac{- 4}{4 \cdot - 4 + 9}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$2 \frac{- 4}{- 16 + 9}$

Этап 4.1.2

Добавим $- 16$ и $9$ .

$2 (\frac{- 4}{- 7})$

Этап 4.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$2 (\frac{4}{7})$

Этап 4.3

Умножим $2 (\frac{4}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{7}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{7}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{7}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{7}$

Десятичная форма:

$1.\overline{142857}$