Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{100 x^{2} - 5}{5 x^{2} - 100}$

Этап 1

Сократим общий множитель $100 x^{2} - 5$ и $5 x^{2} - 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $5$ из $100 x^{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2}) - 5}{5 x^{2} - 100}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2}) + 5 \cdot - 1}{5 x^{2} - 100}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (20 x^{2}) + 5 (- 1)$ .

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 x^{2} - 100}$

Этап 1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 (x^{2}) - 100}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $5$ из $- 100$ .

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 x^{2} + 5 \cdot - 20}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 5 \cdot - 20$ .

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 (x^{2} - 20)}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 8} \frac{5 (20 x^{2} - 1)}{5 (x^{2} - 20)}$

Этап 1.4.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 8} \frac{20 x^{2} - 1}{x^{2} - 20}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 20 x^{2} - 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 20 x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Этап 4

Вынесем член $20$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{20 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - 20}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 20}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 20}$

Этап 9

Найдем предел $20$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{20 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{20 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{20 \cdot 64 - 1 \cdot 1}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 11.1.2

Умножим $20$ на $64$ .

$\frac{1280 - 1 \cdot 1}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1280 - 1}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 11.1.4

Вычтем $1$ из $1280$ .

$\frac{1279}{8^{2} - 1 \cdot 20}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{1279}{64 - 1 \cdot 20}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\frac{1279}{64 - 20}$

Этап 11.2.3

Вычтем $20$ из $64$ .

$\frac{1279}{44}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1279}{44}$

Десятичная форма:

$29.06\overline{81}$