Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$ в виде произведения.

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

Этап 1.2

Запишем $\sin (2 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\cos (5 x)}$ в $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \sec (5 x)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} 5 x)$

Этап 6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\sin (0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Этап 8.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Этап 8.3

Умножим $5$ на $0$ .

$0 \cdot \sec (0)$

Этап 8.4

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 8.5

Умножим $0$ на $1$ .

$0$