Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.3.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}$

Этап 1.1.3.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 4 - x}}$

Этап 1.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} x}}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{4 - 2}}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Этап 1.1.3.7.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Этап 1.3.8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Этап 1.3.8.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Этап 1.3.8.4

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Этап 1.3.8.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Этап 1.3.8.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 1.3.8.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Этап 1.3.8.14

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Этап 1.3.8.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Этап 1.3.8.16

Объединим $\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Этап 1.3.8.17

Перенесем $- 1$ влево от ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1 \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.8.18

Перепишем $- 1 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.8.19

Перенесем ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.8.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.8.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.8.22

Умножим $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.9.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4.2

Перепишем ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{4 - x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.8

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.9

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}}$

Этап 2.11

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 - x}}}$

Этап 2.12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} x}}}$

Этап 2.13

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 2}}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 4.2.4

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Этап 4.2.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Этап 4.2.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Этап 4.2.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Этап 4.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Этап 4.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 4.2.5.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 4.2.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 4.2.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 4.2.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 4.2.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}}$

Этап 4.2.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.2.6

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.2.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}$

Этап 4.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}}$

Этап 4.2.8

Перепишем $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{4}}$

Этап 4.2.8.2

Сократим выражение $\frac{2 \sqrt{2}}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\frac{2 (\sqrt{2})}{4}}$

Этап 4.2.8.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.2.8.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.2.8.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 4.5

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 4.6.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.6.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 4.6.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.7.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{2}$

Десятичная форма:

$1.41421356 \dots$