Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Этап 1.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 1.3.5.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{0 - - \sin (x)}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{0 + 1 \sin (x)}$

Этап 1.3.5.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{0 + \sin (x)}$

Этап 1.3.6

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2

Поскольку эта функция стремится к $- \infty$ слева, а к $\infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$