Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (9 x)}{\sin (3 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (9 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)}}{\sin (3 x)}$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{\frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)}}{\sin (3 x)}$ в виде произведения.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Переведем $\frac{\sin (9 x)}{\cos (9 x)}$ в $\tan (9 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (9 x) \frac{1}{\sin (3 x)}$

Этап 1.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (3 x)}$ в $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (9 x) \csc (3 x)$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (9 x) \csc (3 x)$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (9 x) \csc (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \tan (9 x) \csc (3 x) \\ - 0.1 & 4.26420322 \\ - 0.01 & 3.00857759 \\ - 0.001 & 3.0000855 \\ - 0.0001 & 3.00000085 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $3$ . Таким образом, предел $\tan (9 x) \csc (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $3$ .

$3$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (9 x) \csc (3 x)$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (9 x) \csc (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \tan (9 x) \csc (3 x) \\ 0.1 & 4.26420322 \\ 0.01 & 3.00857759 \\ 0.001 & 3.0000855 \\ 0.0001 & 3.00000085 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $3$ . Таким образом, предел $\tan (9 x) \csc (3 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $3$ .

$3$