Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{4 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Этап 2.4

Разделим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Этап 3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{4} \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \sec^{2} (0)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{2}$

Этап 5.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$